A álgebra é um dos ramos mais importantes da matemática, fundamental para resolver problemas do dia a dia, passar em vestibulares e concursos, e compreender ciências exatas. Neste guia completo, você aprenderá desde os conceitos básicos até tópicos avançados, com mais de 100 exemplos práticos e exercícios resolvidos passo a passo.
O que você vai aprender neste guia
- Fundamentos da álgebra e expressões algébricas
- Equações de 1º e 2º grau com resolução detalhada
- Sistemas de equações e inequações
- Funções, gráficos e aplicações práticas
- Polinômios, fatoração e produtos notáveis
Fundamentos da Álgebra
O que é Álgebra?
Álgebra é o ramo da matemática que estuda as relações e operações matemáticas usando letras e símbolos para representar números e quantidades desconhecidas. Enquanto a aritmética trabalha com números específicos, a álgebra generaliza essas operações.
Exemplo:
Aritmética: 5 + 3 = 8
Álgebra: x + 3 = 8 (onde x = 5)
Variáveis e Constantes
Variáveis são letras que representam valores desconhecidos ou que podem variar (x, y, z, a, b...). Constantes são valores fixos que não mudam (números como 2, 5, -3, π).
• Na expressão 3x + 5: x é variável, 3 e 5 são constantes
• Na fórmula A = πr²: A e r são variáveis, π é constante
• Em y = 2x - 7: x e y são variáveis, 2 e -7 são constantes
Termos e Coeficientes
Um termo é cada parte de uma expressão separada por + ou -. O coeficiente é o número que multiplica a variável.
Exemplo: 5x² - 3x + 7
- • 1º termo: 5x² (coeficiente = 5)
- • 2º termo: -3x (coeficiente = -3)
- • 3º termo: 7 (termo independente)
Termos Semelhantes
Termos semelhantes têm a mesma parte literal (mesmas variáveis com mesmos expoentes). Podemos somar ou subtrair apenas termos semelhantes.
Exemplo 1: Simplificar 3x + 5x - 2x
Todos têm "x", então: (3 + 5 - 2)x = 6x
Exemplo 2: Simplificar 4x² + 2x - x² + 5x
Agrupe semelhantes: (4x² - x²) + (2x + 5x) = 3x² + 7x
Exemplo 3: 7xy + 3x - 2xy + 5
(7xy - 2xy) + 3x + 5 = 5xy + 3x + 5
Operações com Expressões Algébricas
Adição e Subtração
Some ou subtraia apenas termos semelhantes.
(2x + 3y) + (5x - y) = 2x + 5x + 3y - y = 7x + 2y
Multiplicação
Multiplique coeficientes e some expoentes de mesma base.
3x · 4x² = (3·4)(x·x²) = 12x³
(2x)(3y) = 6xy
Divisão
Divida coeficientes e subtraia expoentes de mesma base.
12x⁵ ÷ 3x² = (12÷3)(x⁵÷x²) = 4x³
15xy ÷ 5x = 3y
Equações de 1º Grau
O que é uma Equação de 1º Grau?
É uma igualdade que contém uma incógnita de expoente 1. Forma geral: ax + b = 0 (onde a ≠ 0).
Objetivo: Isolar a variável para encontrar seu valor.
Método de Resolução
Passo a Passo:
- Elimine parênteses (se houver)
- Passe termos com x para um lado e números para o outro
- Simplifique ambos os lados
- Divida ambos os lados pelo coeficiente de x
Exemplo 1: Equação Simples
2x + 5 = 13
2x = 13 - 5 (passe o 5 subtraindo)
2x = 8
x = 8 ÷ 2 (divida por 2)
x = 4
Verificação: 2(4) + 5 = 8 + 5 = 13 ✓
Exemplo 2: Com Parênteses
3(x - 2) = 2x + 4
3x - 6 = 2x + 4 (distribua o 3)
3x - 2x = 4 + 6 (organize)
x = 10
Resposta: x = 10
Exemplo 3: Com Frações
x/2 + x/3 = 10
MMC(2,3) = 6 (multiplique tudo por 6)
3x + 2x = 60
5x = 60
x = 60 ÷ 5
x = 12
Exemplo 4: Problema Prático
Problema: A soma de um número com seu dobro é 45. Qual é esse número?
x + 2x = 45 (número + dobro)
3x = 45
x = 45 ÷ 3
x = 15
Resposta: O número é 15.
Equações de 2º Grau
Forma Geral
ax² + bx + c = 0 (onde a ≠ 0)
- • a = coeficiente de x²
- • b = coeficiente de x
- • c = termo independente
Fórmula de Bhaskara
Δ = b² - 4ac
x = (-b ± √Δ) / 2a
• Se Δ > 0: duas raízes reais diferentes
• Se Δ = 0: duas raízes reais iguais
• Se Δ < 0: não há raízes reais
Exemplo 1: Δ > 0 (duas raízes)
x² - 5x + 6 = 0
a = 1, b = -5, c = 6
Calculando Δ:
Δ = (-5)² - 4(1)(6)
Δ = 25 - 24 = 1
Calculando x:
x = (5 ± √1) / 2
x = (5 ± 1) / 2
x₁ = (5 + 1) / 2 = 6/2 = 3
x₂ = (5 - 1) / 2 = 4/2 = 2
Resposta: x = 2 ou x = 3
Exemplo 2: Δ = 0 (raiz dupla)
x² - 6x + 9 = 0
a = 1, b = -6, c = 9
Δ = (-6)² - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0
x = (6 ± 0) / 2 = 6/2 = 3
Resposta: x = 3 (raiz dupla)
Exemplo 3: Equação Incompleta (c = 0)
2x² - 8x = 0
Método: Fatoração
2x(x - 4) = 0
Produto é zero quando um dos fatores é zero:
2x = 0 → x₁ = 0
x - 4 = 0 → x₂ = 4
Exemplo 4: Problema Prático
Problema: Um terreno retangular tem 48m² de área. O comprimento é 2m maior que a largura. Quais são as dimensões?
Largura = x, Comprimento = x + 2
x(x + 2) = 48
x² + 2x = 48
x² + 2x - 48 = 0
Usando Bhaskara: a=1, b=2, c=-48
Δ = 4 + 192 = 196
x = (-2 ± 14) / 2
x₁ = 12/2 = 6 (válido)
x₂ = -16/2 = -8 (descartado)
Resposta: Largura = 6m, Comprimento = 8m
Produtos Notáveis e Fatoração
1. Quadrado da Soma
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Exemplo:
(x + 3)²
= x² + 2(x)(3) + 3²
= x² + 6x + 9
2. Quadrado da Diferença
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Exemplo:
(2x - 5)²
= (2x)² - 2(2x)(5) + 5²
= 4x² - 20x + 25
3. Produto da Soma pela Diferença
(a + b)(a - b) = a² - b²
Exemplo:
(x + 7)(x - 7)
= x² - 7²
= x² - 49
4. Cubo da Soma
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Exemplo:
(x + 2)³
= x³ + 3x²(2) + 3x(4) + 8
= x³ + 6x² + 12x + 8
Dica Importante
Produtos notáveis economizam tempo e evitam erros. Memorize as fórmulas e pratique bastante! Eles aparecem frequentemente em vestibulares e concursos.
Sistemas de Equações
Um sistema de equações é um conjunto de duas ou mais equações com as mesmas variáveis. Vamos aprender os três métodos principais de resolução.
Método da Substituição
Exemplo:
x + y = 10 ... (1)
2x - y = 5 ... (2)
Passo 1: Isole y na equação (1)
y = 10 - x
Passo 2: Substitua na equação (2)
2x - (10 - x) = 5
2x - 10 + x = 5
3x = 15
x = 5
Passo 3: Substitua x em (1)
5 + y = 10
y = 5
Solução: x = 5 e y = 5
Método da Adição
Exemplo:
3x + 2y = 16 ... (1)
2x - 2y = 4 ... (2)
Passo 1: Some as equações (y se cancela)
5x = 20
x = 4
Passo 2: Substitua em (1)
3(4) + 2y = 16
12 + 2y = 16
2y = 4
y = 2
Solução: x = 4 e y = 2
Problema Prático
Problema: Em uma loja, 3 camisas e 2 calças custam R$ 280. Já 2 camisas e 3 calças custam R$ 295. Qual o preço de cada peça?
Montando o sistema:
3c + 2p = 280 ... (1)
2c + 3p = 295 ... (2)
Multiplicando (1) por 3 e (2) por -2:
9c + 6p = 840
-4c - 6p = -590
Somando:
5c = 250
c = 50
Substituindo em (1):
3(50) + 2p = 280
150 + 2p = 280
2p = 130
p = 65
Resposta: Camisa = R$ 50, Calça = R$ 65
Perguntas Frequentes
Por que preciso aprender álgebra?
Álgebra é fundamental para resolver problemas práticos do dia a dia, como calcular descontos, juros, proporções e medidas. Além disso, é essencial para vestibulares, concursos e carreiras em ciências exatas, engenharia, economia e tecnologia.
Qual a diferença entre equação e expressão algébrica?
Uma expressão algébrica é uma combinação de números e variáveis (ex: 3x + 5). Uma equação é uma igualdade entre duas expressões (ex: 3x + 5 = 14). Equações podem ser resolvidas para encontrar o valor da variável.
Como saber qual método usar para resolver sistemas?
Use substituição quando uma variável já está isolada ou é fácil isolar. Use adição quando os coeficientes são opostos ou podem ser facilmente igualados. Com prática, você identificará o método mais rápido para cada caso.
O que fazer quando Δ é negativo?
Quando Δ < 0 em uma equação de 2º grau, não existem raízes reais. Isso significa que a parábola não cruza o eixo x. Em problemas práticos, geralmente indica que não há solução válida para aquelas condições.
Como memorizar os produtos notáveis?
Pratique muito! Faça exercícios diariamente até que se tornem automáticos. Use mnemônicos: "quadrado do primeiro + duas vezes o primeiro pelo segundo + quadrado do segundo". Entenda o porquê das fórmulas, não apenas decore.
Quanto tempo leva para dominar álgebra?
Com estudo consistente (1-2 horas por dia), você pode dominar os fundamentos em 2-3 meses. Para nível avançado, conte com 6-12 meses de prática regular. O segredo é resolver muitos exercícios e não desistir nos primeiros obstáculos.
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